Операции в различных системах счисления теория. Арифметические операции в различных системах счисления. Позиционные системы счисления

Системы счисления

Система счисления – совокупность приемов и правил для записи чисел цифровыми знаками или символами.

Все системы счисления можно разделить на два класса: позиционные и непозиционные . В классе позиционных систем для записи чисел в различных системах счисления используется некоторое количество отличных друг от друга знаков. Число таких знаков в позиционной системе счисления называется основанием системы счисления. Ниже приведена таблица, содержащая наименования некоторых позиционных систем счисления и перечень знаков (цифр), из которых образуются в них числа.

Некоторые системы счисления

Основание	Система счисления	Знаки
	Двоичная	0,1
	Троичная	0, 1, 2
	Четверичная	0, 1, 2, 3
	Пятеричная	0, 1, 2, 3, 4
	Восьмеричная	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
	Десятичная	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
	Двенадцатеричная	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B
	Шестнадцатеричная	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

В позиционной системе счисления относительной позиции цифры в числе ставится в соответствие весовой множитель, и число может быть представлено в виде суммы произведений коэффициентов на соответствующую степень основания системы счисления (весовой множитель):

A n А n–1 A n–2 ...A 1 A 0 , A –1 A –2 ... =

A n B n + A n-1 B n-1 + ... + A 1 B 1 + A 0 B 0 + A –1 B –1 + A –2 B –2 + ...

(знак «,» отделяет целую часть числа от дробной. Таким образом, значение каждого знака в числе зависит от позиции, которую занимает знак в записи числа. Именно поэтому такие системы счисления называют позиционными).

Позиционная система счисления – система, в которой величина числа определяется значениями входящих в него цифр и их относительным положением в числе.

23,45 10 = 2 ⋅ 10 1 + 3 ⋅ 10 0 + 4 ⋅ 10 –1 + 5 ⋅ 10 –2 .

Десятичный индекс внизу указывает основание системы счисления.

692 10 = 6 ⋅ 10 2 + 9 ⋅ 10 1 + 2 ⋅ 10 0 ;

1101 2 = 1 ⋅ 2 3 + 1 ⋅ 2 2 + 0 ⋅ 2 1 + 1 ⋅ 2 0 = 13 10 ;

112 3 = 1 ⋅ 3 2 + 1 ⋅ 3 1 + 2 ⋅ 3 0 = 14 10 ;

341,5 8 = 3 ⋅ 8 2 + 4 ⋅ 8 1 + 1 ⋅ 8 0 + 5 ⋅ 8 –1 = 225,125 10 ;

A1F,4 16 = А ⋅ 16 2 + 1 ⋅ 16 1 + F ⋅ 16 0 + 4 ⋅ 16 –1 = 2591,625 10 .

При работе с компьютерами приходится параллельно использовать несколько позиционных систем счисления (чаще всего двоичную, десятичную, восьмеричную и шестнадцатеричную), поэтому большое практическое значение имеют процедуры перевода чисел из одной системы счисления в другую. Заметим, что во всех приведенных выше примерах результат является десятичным числом, и, таким образом, способ перевода чисел из любой позиционной системы счисления в десятичную уже продемонстрирован.

В общем случае, чтобы перевести целую часть числа из десятичной системы в систему с основанием В, необходимо разделить ее на В. Остаток даст младший разряд числа. Полученное при этом частное необходимо вновь разделить на В – остаток даст следующий разряд числа и т.д. Деления продолжают до тех пор, пока частное не станет меньше основания. Значения получившихся остатков, взятые в обратной последовательности, образуют искомое двоичное число.

Пример перевода целой части: Перевести 25 10 в число двоичной системы.

25 / 2 = 12 с остатком 1,

12 / 2 = 6 с остатком 0,

6 /2 = 3 с остатком 0,

Целая и дробная части переводятся порознь. Для перевода дробной части ее необходимо умножить на В. Целая часть полученного произведения будет первым (после запятой, отделяющей целую часть от дробной) знаком. Дробную же часть произведения необходимо вновь умножить на В. Целая часть полученного числа будет следующим знаком и т.д.

Для перевода дробной части (или числа, у которого «0» целых) надо умножить ее на 2. Целая часть произведения будет первой цифрой числа в двоичной системе. Затем, отбрасывая у результата целую часть, вновь умножаем на 2 и т.д. Заметим, что конечная десятичная дробь при этом вполне может стать бесконечной (периодической) двоичной.

Пример перевода дробной части: Перевести 0,73 10 в число двоичной системы.

0,73 ⋅ 2 = 1,46 (целая часть 1),

0,46 ⋅ 2 = 0,92 (целая часть 0),

0,92 ⋅ 2 = 1,84 (целая часть 1),

0,84 ⋅ 2 = 1,68 (целая часть 1) и т.д.

Таким образом: 0,73 10 = 0,1011 2 .

Над числами, записанными в любой системе счисления, можно производить различные арифметические операции. Арифметические операции во всех позиционных системах счисления выполняются по одним и тем же хорошо известным вам правилам.

Рассмотрим сложение двух чисел с основание десять:

При сложении числа 6 и 7 результат можно представить, как выражение 10 + 3, где 10, является полным основанием для десятичной системы счисления. Заменим 10 (основание) на 1 и подставим слева от цифры 3. Получится:

6 10 + 7 10 = 13 10 .

Рассмотрим сложение двух чисел с основание восемь:

При сложении числа 6 и 7 результат можно представить, как выражение 8 + 5, где 8, является полным основанием для восьмеричной системы счисления. Заменим 8 (основание) на 1 и подставим слева от цифры 5. Получится:

6 8 + 7 8 = 15 8 .

Рассмотрим сложение двух больших чисел с основание восемь:

Сложение начинается с младшего разряда. Итак, 4 8 + 6 8 представляем, как 8 (основание) + 2. Заменяем 8 (основание) на 1 и добавляем эту единицу к цифрам старшего разряда. Далее складываем следующие разряды: 5 8 + 3 8 + 1 8 представляем, как 8 + 1, заменяем 8 (основание) на 1 и добавляем ее к старшему разряду. Далее, 2 8 + 7 8 + 1 8 представляем, как 8 (основание) + 2, заменяем 8 (основание) на 1 и подставляем слева от получившегося числа (в позицию старшего разряда). Таким образом, получается:

254 8 + 736 8 = 1212 8 .

276 8 + 231 8 = 527 8 ,

4A77 16 + BF4 16 = 566B 16 ,

1100110 2 + 1100111 2 = 11001101 2 .

Другие арифметические операции (вычитание, умножение и деление) в различных системах счисления выполняются аналогично.

Рассмотрим умножение «столбиком», на примере двух чисел двоичной системы:

11101 2 · 101 2

Записываем числа друг под другом, в соответствии с разрядами. Затем производим поразрядное перемножение второго множителя на первый и записываем со смещением влево, так же, как при умножении десятичных чисел. Остается сложить «смещенные» числа, учитывая основание чисел, в данном случае двоичное.

преобразуем получившийся результат к основанию 16.

Во втором разряде 29 представляем, как 16 (основание) и 13 (D). Заменим 16 (основание) на 1 и добавим к старшему разряду.

В третьем разряде 96 + 1 = 97. Затем 97 представим, как 6 · 16 (основание) и 1. Добавим 6 старшему разряду.

В четвертом разряде 20 + 6 = 26. Представим 26, как 16 (основание) и 10 (А). Единицу переносим в старший разряд.

При определенных навыках работы с различными системами счисления запись можно было сразу представить, как

	A

	B	B

A		D

Таким образом, A31 16 · 29 16 = 1A1D9 16 .

527 8 – 276 8 = 231 8 ,

566B 16 – 4A77 16 = BF4 16 ,

11001101 2 – 1100110 2 = 1100111 2 ,

276 8 · 231 8 = 70616 8 ,

4A77 16 · BF4 16 = 37A166C 16 ,

1100110 2 · 1100111 2 = 10100100001010 2 .

С точки зрения изучения принципов представления и обработки информации в компьютере, обсуждаемые системы (двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная) представляют большой интерес, хотя компьютер обрабатывает данные только преобразованные к двоичному коду (двоичная система счисления). Однако, часто с целью уменьшения количества записываемых на бумаге или вводимых с клавиатуры компьютера знаков бывает удобнее пользоваться восьмеричными или шестнадцатеричными числами, тем более что, как будет показано далее, процедура взаимного перевода чисел из каждой из этих систем в двоичную очень проста – гораздо проще переводов между любой из этих трех систем и десятичной.

Представим числа различных систем счисления соответственно друг другу:

Десятичная	Шестнадцатеричная	Восьмеричная	Двоичная










	A
	B
	C
	D
	E
	F

Из таблицы видно, что числа системы с основанием 2, 8 и 16 имеют периодические закономерности. Так, восемь значений восьмеричной системы, то есть (от 0 до 7 или полное основание) соответствуют трем разрядам (триады ) двоичной системы. Таким образом, для описания чисел одного разряда восьмеричной системы требуется ровно три разряда двоичной. Аналогично и с числами шестнадцатеричной системы. Только для их описания требуется ровно четыре разряда (тетрады ) двоичной системы.

Отсюда следует, что для перевода любого целого двоичного числа в восьмеричное, необходимо разбить его справа налево на группы по 3 цифры (самая левая группа может содержать менее трех двоичных цифр), а затем каждой группе поставить в соответствие ее восьмеричный эквивалент.

Например, требуется перевести 11011001 2 в восьмеричную систему.

Разбиваем число на группы по три цифры 011 2 , 011 2 и 001 2 . Подставляем соответствующие цифры восьмеричной системы. Получаем 3 8 , 3 8 и 1 8 или 331 8 .

11011001 2 = 331 8 .

Аналогично осуществляются и обратные переводы, например:

Перевести AB5D 16 в двоичную систему счисления.

Поочередно заменяем каждый символ числа AB5D 16 на соответствующее число из двоичной системы. Получим 1010 16 , 1011 16 , 0101 16 и 1101 16 или 1010101101011101 2 .

AB5D 16 = 1010101101011101 2 .

Кроме рассмотренных выше позиционных систем счисления существуют такие, в которых значение знака не зависит от того места, которое он занимает в числе. Такие системы счисления называются непозиционными . Наиболее известным примером непозиционной системы являетсяримская . В этой системе используется 7 знаков (I, V, X, L, С, D, М), которые соответствуют следующим величинам:

Правила записи чисел римскими цифрами : – если большая цифра стоит перед меньшей, то они складываются (принцип сложения), – если меньшая цифра стоит перед большей, то меньшая вычитается из большей (принцип вычитания).

Второе правило применяется для того, чтобы избежать четырёхкратного повторения одной и той же цифры. Так, римские цифры I, Х, С ставятся соответственно перед Х, С, М для обозначения 9, 90, 900 или перед V, L, D для обозначения 4, 40, 400.

Примеры записи чисел римскими цифрами:

IV = 5 - 1 = 4 (вместо IIII),

XIX = 10 + 10 - 1 = 19 (вместо XVIIII),

XL = 50 - 10 =40 (вместо XXXX),

XXXIII = 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 = 33 и т.д.

Следует отметить, что выполнение даже простых арифметических действий над многозначными числами римскими цифрами весьма неудобно. Вероятно, сложность вычислений в римской системе, основанной на использовании латинских букв, стала одной из веских причин замены ее на более удобную в этом плане десятичную систему.

3.1 Основанием системы счисления называется...

Совокупность приемов и правил для записи чисел цифровыми знаками или символами

Число знаков использующиеся в определенной позиционной системе счисления

Делитель, использующийся при переводе чисел из одной системы счисления в другую

Общий множитель, при переводе чисел из одной системы счисления в другую

3.2 Какая система счисления не нашла широкого применения в компьютерной технике

Восьмеричная

Двоичная

Пятеричная

Шестнадцатеричная

УРОК №19-20.

Тема

Арифметические операции в позиционных системах счисления. Умножение и деление.

Цель урока: показать способы арифметических операций (умножения и деления) чисел в разных системах счисления, проверить усвоение темы «Сложение и вычитание чисел в различных системах счисления».

Задачи урока:

образовательные

развивающие:

воспитательные:

Материалы и оборудование к уроку: карточки для самостоятельной работы, таблицы умножения.

Тип урока: комбинированный урок

Форма проведения урока : индивидуальная, фронтальная.

Ход урока:

1. Проверка домашнего задания.

Домашнее задание:

1. № 2.41 (1 и 2 столбик), практикум, стр. 55

Решение:

А) 11102+10012 =101112

Б) 678+238=1128

В)AF16+9716 = 14616

Г)11102-10012 =1012

Д) 678-238 =448

Е) АF16-9716 =1816

2. №2.48 (стр. 56)

2. Самостоятельная работа «Сложение и вычитание чисел в различных системах счисления». (20 минут)

Самостоятельная работа. 10 класс .
11 + 1110 ; 10111+111 ; 110111+101110 3. Вычесть: 10111-111; 11 - 1110 4. Сложить и вычесть в 8-ричной системе: 738 и 258	Вариант 1

Самостоятельная работа. 10 класс. Двоичная система счисления: перевод 2® 10; сложение.
1. Выполнить перевод из двоичной системы счисления в десятичную. 2. Сложить два двоичных числа. 1110+111 ; 111+1001 ; 1101+110001 3. Вычесть: 111-1001; 1110+111 4. Сложить и вычесть в 16-ричной системе: 7316 и 2916	Вариант 2

3. Новый материал.

1. У м н о ж е н и е

Выполняя умножение многозначных чисел в различных позиционных системах счисления, можно использовать обычный алгоритм перемножения чисел в столбик, но при этом результаты перемножения и сложения однозначных чисел необходимо заимствовать из соответствующих рассматриваемой системе таблиц умножения и сложения.

Умножение в двоичной системе

Умножение в восьмеричной системе

Ввиду чрезвычайной простоты таблицы умножения в двоичной системе, умножение сводится лишь к сдвигам множимого и сложениям.

Пример 1. Перемножим числа 5 и 6 в десятичной, двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления.

https://pandia.ru/text/80/244/images/image004_82.gif" width="419" height="86 src=">
Ответ: 5 . 6 = 3010 = 111102 = 368.
Проверка.
111102 = 24 + 23 + 22 + 21 = 30;
368 = 381 + 680 = 30.

Пример 2. Перемножим числа 115 и 51 в десятичной, двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления.

https://pandia.ru/text/80/244/images/image006_67.gif" width="446" height="103 src=">
Ответ: 115 . 51 = 586510 = 10110111010012 = 133518.
Проверка. Преобразуем полученные произведения к десятичному виду:
10110111010012 = 212 + 210 + 29 + 27 + 26 + 25 + 23 + 20 = 5865;
133518 = 1 . 84 + 3 . 83 + 3 . 82 + 5 . 81 + 1 . 80 = 5865.

2. Д е л е н и е

Деление в любой позиционной системе счисления производится по тем же правилам, как и деление углом в десятичной системе. В двоичной системе деление выполняется особенно просто , ведь очередная цифра частного может быть только нулем или единицей.
Пример 3. Разделим число 30 на число 6.

https://pandia.ru/text/80/244/images/image008_48.gif" width="478" height="87 src=">
Ответ: 30: 6 = 510 = 1012 = 58.

Пример 4. Разделим число 5865 на число 115.

https://pandia.ru/text/80/244/images/image010_50.gif" width="400" height="159 src=">

Восьмеричная: 133518:1638

https://pandia.ru/text/80/244/images/image012_40.gif" width="416" height="18 src=">

https://pandia.ru/text/80/244/images/image014_36.gif" width="72" height="89 src=">
Ответ: 35: 14 = 2,510 = 10,12 = 2,48.
Проверка. Преобразуем полученные частные к десятичному виду:
10,12 = 21 + 2 -1 = 2,5;
2,48 = 2 . 80 + 4 . 8-1 = 2,5.

4. Домашнее задание:

1. Приготовиться к контрольной работе № 2 «По теме Системы счисления. Перевод чисел. Арифметические операции в системах счисления»

2. Практикум Угринович, №2.46, 2.47, стр. 56.

Литература:

1. Практикум по информатике и информационным технологиям . Учебное пособие для общеобразовательных учреждений / , . – М.: Бином. Лаборатория Знаний, 2002. 400 с.: ил.

2. Угринович и информационные технологии. Учебник для 10-11 классов. – М.:БИНОМ. Лаборатория знаний, 2003.

3. Шауцукова: Учебн. пособие для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений. – М.: Просвещение, 2003.9 - с. 97-101, 104-107.

Сложение и вычитание

В системе с основанием для обозначения нуля и первых с-1 натуральных чисел служат цифры 0, 1, 2, ..., с - 1. Для выполнения операции сложения и вычитания составляется таблица сложения однозначных чисел.

Таблица 1 - Сложение в двоичной системе

Например, таблица сложения в шестеричной системе счисления:

Таблица 2 - Сложение в шестеричной системе

Сложение любых двух чисел, записанных в системе счисления с основанием с, производится так же, как в десятичной системе, по разрядам, начиная с первого разряда, с использованием таблицы сложения данной системы. Складываемые числа подписываются одно за другим так, чтобы цифры одинаковых разрядов стояли по вертикали. Результат сложения пишется под горизонтальной чертой, проведенной ниже слагаемых чисел. Так же как при сложении чисел в десятичной системе, в случае, когда сложение цифр в каком-либо разряде дает число двузначное, в результат пишется последняя цифра этого числа, а первая цифра прибавляется к результату сложения следующего разряда.

Например,

Можно обосновать указанное правило сложения чисел, используя представление чисел в виде:

Разберем один из примеров:

3547=3*72+5*71+4*70

2637=2*72+6*71+3*70

(3*72+5*71+4*70) + (2*72+6*71+3*70) =(3+2)*72+(5+6)*7+(3+4)=

5*72+1*72+4*7+7=6*72+4*7+7=6*72+5*7+0=6507

Последовательно выделяем слагаемые по степени основания 7, начиная с низшей, нулевой, степени.

Вычитание производится также по разрядам, начиная с низшего, причем если цифра уменьшаемого меньше цифры вычитаемого, то из следующего разряда уменьшаемого "занимается" единица и из полученного двузначного числа вычитается соответствующая цифра вычитаемого; при вычитании цифр следующего разряда в этом случае нужно мысленно уменьшить цифру уменьшаемого на единицу, если же эта цифра оказалась нулем (и тогда уменьшение ее невозможно), то следует "занять" единицу из следующего разряда и затем произвести уменьшение на единицу. Специальной таблицы для вычитания составлять не нужно, так как таблица сложения дает результаты вычитания.

Например,

Умножение и деление

Для выполнения действий умножения и деления в системе с основанием с составляется таблица умножения однозначных чисел.

Таблица 3 - Умножение однозначных чисел

Таблица 4 - Умножение в шестеричной системе счисления

Умножение двух произвольных чисел в системе с основанием с производится так же, как в десятичной системе - "столбиком", то есть множимое умножается на цифру каждого разряда множителя (последовательно) с последующим сложением этих промежуточных результатов.

Например,

При умножении многозначных чисел в промежуточных результатах индекс основания не ставится:

Деление в системах с основанием с производится углом, так же, как в десятичной системе счисления. При этом используется таблица умножения и таблица сложения соответствующей системы. Сложнее дело обстоит, если результат деления не является конечной с-ичной дробью (или целым числом). Тогда при осуществлении операции деления обычно требуется выделить непериодическую часть дроби и ее период. Умение выполнять операцию деления в с-ичной системе счисления полезно при переводе дробных чисел из одной системы счисления в другую.

Например:

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Существует много различных способов перевода чисел из одной системы счисления в другую.

Способ деления

Пусть дано число N=an an-1. . . a1 а0 р.

Для получения записи числа N в системе с основанием h следует представить его в виде:

N=bmhm+bm-1hm-1+... +b1h+b0 (1)

где 1

N=bmbm-1... b1boh (2)

Из (1) получаем:

N= (bmhm-1+...+b)*h +b0 = N1h+b0, где 0? b0 ?h (3)

To есть, цифра b0 является остатком от деления числа N на число h. Неполное частное Nl = bmhm-1+ . . . +b1 представим в виде:

Nl = (bmhm-2 + ... + b2)h + b1 = N2h+b1, где 0? b2 ?h (4)

Таким образом, цифра bi в записи (2) числа N является остатком от деления первого неполного частного N1 на основание h новой системы счисления. Второе неполное частное N2 представим в виде:

N2 = (bmhm-3+ ... +b3)h+b2, где 0? b2 ?h (5)

то есть цифра b2 является остатком от деления второго неполного частного N2 на основание h новой системы. Так как не полные частные убывают, то этот процесс конечен. И тогда мы получаем Nm = bm, где bm

Nm-1 = bmh+bm.1 = Nmh+bm.1

Таким образом, последовательность цифр bm, bm-1 . . ,b1,b0 в записи числа N в системе счисления с основанием h есть последовательность остатков последовательного деления числа N на основание h, взятая в обратной последовательности.

Рассмотрим пример: Выполнить перевод числа 123 в шестнадцатеричную систему счисления:

Таким образом, число 12310=7(11)16 либо можно записать как 7B16

Запишем число 340227 в пятеричной системе счисления:

Таким образом, получаем, что 340227=2333315

Арифметические операции в позиционных системах счисления

Арифметические операции во всех позиционных системах счисления выполняются по одним и тем же хорошо известным вам правилам.

Сложение. Рассмотрим сложение чисел в двоичной системе счисления. В его основе лежит таблица сложения одноразрядных двоичных чисел:

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10

Важно обратить внимание на то, что при сложении двух единиц происходит переполнение разряда и производится перенос в старший разряд. Переполнение разряда наступает тогда, когда величина числа в нем становится равной или большей основания.

Сложение многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с вышеприведенной таблицей сложения с учетом возможных переносов из младших разрядов в старшие. В качестве примера сложим в столбик двоичные числа 110 2 и 11 2:

Проверим правильность вычислений сложением в десятичной системе счисления. Переведем двоичные числа в десятичную систему счисления и затем их сложим:

110 2 = 1 × 2 2 + 1 × 2 1 + 0 × 2 0 = 6 10 ;

11 2 = 1 × 2 1 + 1 × 2 0 = 3 10 ;

6 10 + 3 10 = 9 10 .

Теперь переведем результат двоичного сложения в десятичное число:

1001 2 = 1 × 2 3 + 0 × 2 2 + 0 × 2 1 + 1 × 2 0 = 9 10 .

Сравним результаты - сложение выполнено правильно.

Вычитание. Рассмотрим вычитание двоичных чисел. В его основе лежит таблица вычитания одноразрядных двоичных чисел. При вычитании из меньшего числа (0) большего (1) производится заем из старшего разряда. В таблице заем обозначен 1 с чертой:

Умножение. В основе умножения лежит таблица умножения одноразрядных двоичных чисел:

Деление. Операция деления выполняется по алгоритму, подобному алгоритму выполнения операции деления в десятичной системе счисления. В качестве примера произведем деление двоичного числа 110 2 на 11 2:

Для проведения арифметических операций над числами, выраженными в различных системах счисления, необходимо предварительно перевести их в одну и ту же систему.

Задания

1.22. Провести сложение, вычитание, умножение и деление двоичных чисел 1010 2 и 10 2 и проверить правильность выполнения арифметических действий с помощью электронного калькулятора.

1.23. Сложить восьмеричные числа: 5 8 и 4 8 , 17 8 и 41 8 .

1.24. Провести вычитание шестнадцатеричных чисел: F 16 и А 16 , 41 16 и 17 16 .

1.25. Сложить числа: 17 8 и 17 16 , 41 8 и 41 16

Т.к. в двоичной системе счисления в записи чисел используются только 2 цифры – 0 и 1, значит при сложении 1 + 1 в младшем разряде записывается 0, а 1 переходит в старший разряд.

По аналогии с 10-сс: 9 + 1 (цифры десять нет в записи чисел), записывается 0 и 1 в старшем разряде, получается 10.

Примеры

1) Сложим в столбик 10110 2 и 111011 2 . Единицы сверху обозначают перенос из предыдущего разряда:

2) Выполнить сложение для следующих двоичных чисел:

3) Сложить числа:10000000100 2 + 111000010 2 и выполнить проверку

10000000100 2 + 111000010 2 = 10111000110 2 .

Выполним проверку результатов расчетов переводом в десятичную систему счисления. Для этого переведем каждое слагаемое и сумму в десятичную систему счисления, выполним сложение слагаемых в десятичной системе счисления. Результат должен совпасть с суммой.

10000000100 2 = 1 × 2 10 + 1 × 2 2 = 1024 + 4 = 1028 10

111000010 2 = 1× 2 8 + 1× 2 7 + 1× 2 6 + 1 × 2 1 = 256 + 128 + 64 + 2 = 450 10

10111000110 2 = 1 × 2 10 + 1 × 2 8 + 1 × 2 7 + 1 × 2 6 + 1 × 2 2 + 1 × 2 1 =

1024 + 256 + 128 + 64 + 4 + 2 =1478 10

1028 10 + 450 10 =1478 10 .

Результаты совпадают, следовательно, вычисления в двоичной системе счисления выполнены верно.

Восьмеричные числа

Таблица сложения восьмеричных чисел

+

При вычислениях в восьмеричной системе нужно помнить, что максимальная цифра – это 7. Перенос при сложении возникает тогда, когда сумма в очередном разряде получается больше 7. Заем из старшего разряда равен 10 8 = 8, а все «промежуточные» разряды заполняются цифрой 7 – старшей цифрой системы счисления.

Пример

1) В примере запись 1⋅8 + 2 означает, что получилась сумма, большая 7, которая не помещается в один разряд. Единица идет в перенос, а двойка остается в этом разряде.

2) Выполнить сложение 223,2 8 + 427,54 8 и осуществить проверку полученного результата.

223,2 8 + 427,54 8 = 652,74 8 .

Выполним проверку результатов расчетов переводом в десятичную систему счисления:

223,2 8 = 2 × 8 2 + 2 × 8 1 + 3 × 8 0 + 2 × 8 -1 = 128 + 16 + 3 + 0,25 =

427,54 8 = 4 × 8 2 + 2 × 8 1 + 7 × 8 0 + 5 × 8 -1 + 4 × 8 -2 =

256 + 16 + 7 + 0,625 + 0,0625= 279,6875 10

652,74 8 = 6 × 8 2 + 5 × 8 1 + 2 × 8 0 + 7 × 8 -1 + 4 × 8 -2 =

384 + 40 + 2 + 0,875 + 0,0625 = 426,9375 10

147,25 10 + 279,6875 10 =426,9375 10

Результаты совпадают, следовательно, вычисления в восьмеричной системе счисления выполнены верно.

Шестнадцатеричные числа

Таблица сложения шестнадцатеричных чисел

При выполнении сложения нужно помнить, что в системе с основанием 16 перенос появляется тогда, когда сумма в очередном разряде превышает 15. Удобно сначала переписать исходные числа, заменив все буквы на их численные значения.

Примеры

2) Выполнить сложение 3B3,6 16 + 38B,4 16 и осуществить проверку

3B3,6 16 + 38B,4 16 = 73E,A 16 .

Выполним проверку:

3B3,6 16 = 3 × 16 2 + 11 × 16 1 + 3 × 16 0 + 6 × 16 -1 = 768 + 176 +

3 + 0,375 = 947,375 10

38B,4 16 = 3 × 16 2 + 8 × 16 1 + 11 × 16 0 + 4 × 16 -1 = 768 + 128 +

11 + 0,25 = 907,25 10

73E,A 16 = 7 × 8 2 + 3 × 8 1 + 14 × 8 0 + 10 × 8 -1 = = 1792 + 48 + 14 + 0,625 = 1854,625 10

947,375 10 + 907,25 10 = 1854,625 10 .

Результаты совпадают, следовательно, вычисления в шестнадцатеричной системе счисления выполнены верно.

Вычитание

Двоичные числа

Вычитание выполняется почти так же, как и в десятичной системе. Вот основные правила:

0 – 0 = 0, 1 – 0 = 1, 1 – 1 = 0, 10 2 – 1 = 1.

В последнем случае приходится брать заем из предыдущего разряда.

Вычитание производится по аналогии с десятичной системой счисления.

Чтобы понять принцип, временно вернемся к десятичной системе. Вычтем в столбик из числа 21 число 9:

Поскольку из 1 нельзя вычесть 9, нужно взять заем из предыдущего разряда, в котором стоит 2. В результате к младшему разряду добавляется 10, а в следующем 2 уменьшается до 1. Теперь можно выполнить вычитание: 1 + 10 – 9 = 2. В старшем разряде вычитаем из оставшейся единицы ноль:

Более сложный случай – заем из дальнего (не ближайшего) разряда. Вычтем 9 из 2001. В этом случае занять из ближайшего разряда не удается (там 0), поэтому берем заем из того разряда, где стоит цифра 2. Все промежуточные разряды в результате заполняются цифрой 9, это старшая цифра десятичной системы счисления:

В двоичной системе счисления, когда берется заем, в «рабочий» разряд добавляется уже не 10, а 102 = 2 (основание системы счисления), а все «промежуточные» разряды (между «рабочим» и тем, откуда берется заем) заполняются не девятками, а единицами (старшей цифрой системы счисления).

Примеры

Если требуется вычесть большее число из меньшего, вычитают меньшее из большего и ставят у результата знак «минус»:

3) 4)

Восьмеричные числа

При вычитании «– 1» означает, что из этого разряда раньше был заем (его значение уменьшилось на 1), а «+ 8» – заем из следующего разряда.

2) Вычитание

Шестнадцатеричные числа

При вычитании заем из старшего разряда равен 10 16 = 16, а все «промежуточные» разряды заполняются цифрой F – старшей цифрой системы счисления.

Например,

Умножение

Двоичные числа

х

Умножение и деление столбиком в двоичной системе выполняются практически так же, как и в десятичной системе (но с использованием правил двоичного сложения и вычитания).

Например,

1) 2)

Восьмеричные числа

Восьмеричная таблица умножения

´

С помощью восьмеричной таблицы умножения пользуясь теми же правилами, которые применяются в десятичной системе счисления, производятся умножение и деление восьмеричных многоразрядных чисел.

Пример

Шестнадцатеричные числа

Таблица умножения

Пример

Деление отдельно в десятичную систему, так как для чисел от 0 до 7 их восьмеричная запись совпадает с десятичной);

3) Складываем

Решение (через шестнадцатеричную систему):

1) (сначала перевели в двоичную систему, потом двоичную запись числа разбили на тетрады справа налево , каждую тетраду перевели в шестнадцатеричную систему; при этом тетрады можно переводить из двоичной системы в десятичную, а затем заменить все числа, большие 9, на буквы – A, B, C, D, E, F);

2) , никуда переводить не нужно;

3) складываем

4) переводим в шестнадцатеричную систему все ответы:

121 8 = 001 010 001 2 = 0101 0001 2 = 51 16 (перевели в двоичную систему по триадам, разбили на тетрады справа налево, каждую тетраду перевели отдельно в десятичную систему, все числа, большие 9, заменили на буквы – A, B, C, D, E, F).

171 2 = 001 111 001 2 = 0111 1001 2 = 79 16 ,

69 16 , переводить не нужно

1000001 2 = 0100 0001 2 = 41 16 .